ESTATÍSTICA: CÁLCULOS DOS COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR
Imagine um gráfico de dispersão cujos dados apresentam uma tendência linear. Há diferentes ferramentas capazes de elaborar uma reta que representa o referido comportamento. A mais conhecida é conhecida como Método dos Mínimos Quadrados.
O método dos Mínimos Quadrados estipula que o erro quadrático médio (EQM) das medidas deva ser minimizado.



Onde: EQM = erro quadrático médio, ΔSi = i-ésimo valor das somas dos quadrados dos erros, ŷ = valor ajustado do i-ésimo elemento de y, yi = valor do i-ésimo elemento de y, n = número total de elementos de y.

Na prática, a reta da regressão linear (ŷ = ax + b) corresponde ao conjunto de dados capaz de gerar o menor valor de EQM. Para tanto, o coeficiente angular (a) e o coeficiente linear (b), ou intercepto, são calculados com as equações matemáticas a seguir:



Onde: a = coeficiente angular, b = coeficiente linear, xi = i-ésimo valor de x, yi = i-ésimo valor de y, n = número total de elementos de x ou de y.

Veja o exemplo a seguir:

Um conjunto de análises espectrofotométricas foi realizado para a quantificação de um contaminante no leite de vaca. Foram 5 análises com soluções-padrão de concentração 0, 100, 200, 300 e 500 µg/mL e as seguintes absorvâncias correspodentes: 0, 0.180, 0.413, 0.633 e 1.103.

Encontre a equação de regressão linear do conjunto de dados.

> x = c(0, 100, 200, 300, 500) # criou-se o vetor de dados x
> y = c(0, 0.18, 0.413, 0.633, 1.103) # criou-se o vetor de dados y
> Sxy = sum(x*y)
> SxSy = sum(x)*sum(y)
> Sx2 = sum(x^2)
> Sxe2 = (sum(x))^2
> a = (5*Sxy - SxSy)/(5*Sx2 - Sxe2) #calculando o valor do coeficiente angular
> a
[1] 0.002227162

> Sy = sum(y)
> Sx = sum(x)
> b = (Sy - 0.002227*Sx)/5
> b

[1] -0.02414

Pode-se obter os coeficientes angular e linear facilmente pelo software R:
> reg = lm(y~x)
> reg


Call:
lm(formula = y ~ x)

Coefficients:
(Intercept) ----- x
-0.024176 -- 0.002227 # o primeiro valor é o coeficiente linear e o segundo, o angular