ESTATÍSTICA: Análise combinatória

Conjuntos de dados podem ser estudados para que se saiba quantas combinações podem ser formadas considerando o todo ou subconjuntos menores.
A primeira ferramenta de estudo é a permutação, usada para calcular o número de combinações possíveis de todos os elementos de um conjunto de dados. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 1 - Calcule o número total de possibilidades de 3 atletas (A, B e C) ficarem organizados em um pódio (1o, 2o e 3o lugar).

O cálculo é simples, bastanto calcular o fatorial do número de atletas: 3!
3! = 3*2*1 = 6 possibilidades

Veja as 6 combinações possíveis:
A, B e C
A, C e B
B, A e C
B, C e A
C, A e B
C, B e A

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A segunda ferramenta é o arranjo, usado para calcular o número de combinações possíveis de todos os elementos de um conjunto de dados dentro de um subconjunto menor. É importante salientar que seu cálculo leva em conta a ordem dos elementos dentro do subconjunto.
O número de arranjos pode ser calculado por meio da seguinte equação:

A = n!/(n - p)!, onde 'n' é o número total de elementos e 'p' é o número de elementos do subconjunto.

Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 2 - Calcule o número total de possibilidades de 10 atletas ficarem organizados em um pódio (1o, 2o e 3o lugar).

Note que os 3 lugares do pódio correspondem ao subconjunto e número total de atletas (10) equivale ao todo.
A = n!(n - p)! = 10!(10! - 3!) = 10!/7! = 10*9*8*7!/7! = 10*9*8 = 720 possibilidades.
Eis algumas:
A, B e C
A, B e D
A, B e E
A, B e F...

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A terceira ferramenta é conhecida como combinações, usada para calcular o número de combinações de todos os elementos de um conjunto dentro de um subconjunto menor, mas desconsiderando a ordem dos elementos. Isso significa que diferentes possibilidades que apresentam os mesmos elementos em ordem diferente são consideradas como uma única combinação.
O número de combinações pode ser calculado por meio da seguinte equação:

C = n!/(p!(n - p)!), onde 'n' é o número total de elementos e 'p' é o número de elementos do subconjunto.

Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 3 - Qual é o total de combinações dos números da megasena para apostadores que jogam 6 números em uma cartela?

Note que na megasena, o conjunto total de elementos é formado pelos números inteiros de 1 a 60. E que o subconjunto de dados corresponde aos 6 números assinalados na cartela.
C = n!/(p!(n - p)!) = 60!/(6!(60 - 6)!) = 60!/(6!*54!) = 60*59*58*57*56*55*54!/(6!*54!) =
50063860 combinações possíveis

OBS1: no exemplo 3, combinações como 1,2,3,4,5,6 e 1,3,2,4,5,6 e 1,3,4,2,5,6 são consideradas como uma única, pois a ordem dos elementos não é levada em conta.
OBS2: a ideia de organizar os atletas no pódio não poderia ser aproveitada no exemplo 3, pois o pódio leva em conta uma ordem: 1o, 2o e 3o colocados.

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O software R é capaz de calcular facilmente o número de permutações, arranjos e combinações.
O comando factorial(n) calcula o número de permutações de um conjunto de dados com n elementos. No exemplo 1, tem-se factorial(3) = 6.
O comando choose(n, p) calcula o número de combinações de um conjunto de dados com n elementos considerando um subconjunto menor com p elementos. No exemplo 3, tem-se choose(60, 6) = 50063860.
Não há um comando específico para o número de arranjos, mas pode-se adequar o comando acima da seguinte forma: choose(n, p)*factorial(p), onde 'n' é o número total de elementos e 'p' o número de elementos do subconjunto.
No exemplo 2, tem-se choose(10, 3)*factorial(3) = 720.